設（ξ，η）服從二維正態分布，其密度函數為p(x,y)=1/(2Л√1-ρ^2)exp{-1/2(1-ρ^2)[x^2-2ρxy+y^2]},-∞<x,y>+∞,求證ξ，η相互獨立的充要條件是ρ＝0我看了答案也不明白，積分那兒看不懂，請師長給我寫出詳細一點的過程好嗎，謝謝

熱心網友

這個問題一般概率論教材上都有詳細介紹，例如我手頭的浙江大學《概率論與數理統計》在p91上介紹二維正態分布(X,Y)聯合概率密度函數中參數ρ=0時，剛好是兩個一維正態分布X與Y的密度函數的乘積，即X與Y相互獨立；在p132例2中求得服從二維正態分布的(X,Y)，X與Y的相關系數就是參數ρ，因而得到：兩個正態變量不相關與相互獨立是等價的。積分看不懂是因為這里積分不是用通常求原函數的方法求得的，而是應用一個著名的廣義積分的結果，這個廣義積分是：e^(-x^2)在[0,+∞)的積分等于(√π)/2，函數e^(-x^2)的原函數不是初等函數，不能用通常的方法求得積分，這個積分通常稱為概率積分。你沒有必要在這里花費時間，只要記住結論：“兩個正態變量不相關與相互獨立是等價的”就可以了。