解答題：以知：n為自然數，且3n+1與4n+1都是完全平方數，求最小自然數n。注：請寫出思考過程，$$切記$$ 不要從1開始去湊，這樣湊出答案不是真英雄。

熱心網友

先作如下約定：x^2表示x的平方。首先確定未知數n的奇偶性。因為4n+1是奇數，所以它的平方根也是奇數，設平方根為2k+1，于是有(2k+1)^2=4n+1,即k^2+k=k*(k+1)=n，因為兩個連續整數中必有偶數，所以n是偶數。于是3n+1也是奇數，其平方根亦為奇數。設3n+1的平方根為2p+1,則3n+1=(2p+1)^2，即3n=4*p*(p+1)；同樣的道理，p*(p+1)也是偶數，因此，n是8的倍數，此外p或(p+1)還必須是3的倍數；由n為8的倍數這個條件，可以得到滿足3n+1為完全平方數的最小n值為8，p=2;但不滿足4n+1是完全平方數的條件，所以p=3m(m為大于1的正整數)，于是n=4*m*(3m+1)，取m=2，可知n=56,3n+1=169=13^2;4n+1=225=15^2;即n=56是同時滿足條件的最小值。