過直線L： X+Y=2 與拋物線C相交于點A和點B，拋物線C的頂點在原點且以X軸為對稱點，若PA、AB、PB的長度成等比數列，試求拋物線C的方程。

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過直線L： X+Y=2 與拋物線C相交于點A和點B，拋物線C的頂點在原點且以X軸為對稱軸，點P的坐標為（-2，4）P在L上，若PA、AB、PB的長度成等比數列，試求拋物線C的方程。 因為Y = -X + 2 且過(-2,4)點所以設直線L為：Y = 4 + t*sin135 ,X = -2 + t*cos135 ,其中 t 為參數再設拋物線為Y^2 = 2pX ,(P0)把直線方程代入拋物線中：(4 + t*sin135 )^2 = 2p( -2 + t*cos135 )整理得：t^2 +2(4√2 + √2 P)t + 8p + 32 = 0所以 t1 + t2 = -2√2 (4+p) ,t1*t2 = 8(P+4)因為 PA*PB = |t1*t2 | ，AB = |t1 - t2 | ，由于AB^2 = PA*PB所以 (t1 - t2 )^2 = |t1*t2 | ,即 (t1 + t2 )^2 = 5 t1*t2 所以 8(4+P)^2 = 5*8(P+4)解得：P = 1 或 P=-4 (舍去)所以 拋物線C的方程為：Y^2 = 2X 。