已知橢圓x平方/2+y平方/4=1與射線y=根號2乘于x(x大于等于0）交于點A，過A作傾斜角互補的兩條直線，他們與橢圓的另一個交點為B和點C.(1)求證：直線BC的斜率為定值，并求出這個定值。（2）求三角形ABC的面積的最大值

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解：（1）由橢圓x^2/2+y^2/4=1與射線y=√2x(x≥0）求得點A坐標為(1,√2)。設直線AB的斜率為k,則直線AC的斜率為-k,它們的點斜式方程為：AB: y-√2=k(x-1)AC: y-√2=-k(x-1)與橢圓x^2/2+y^2/4=1分別聯立，得AB與橢圓: (k^2+2)x^2+2k(√2-k)+k^2-2√2k-2AC與橢圓: (k^2+2)x^2-2k(√2-k)+k^2+2√2k-2由韋達定理，分別求得:B點的x坐標，xB=(k^2-2√2k-2)/(k^2+2)C點的x坐標，xC=(k^2+2√2k-2)/(k^2+2)則xB-xC=-4√2k/(k^2+2)xB+xC-2=-8/(k^2+2)所以直線BC的斜率K為K=(yB-yC)/(xB-xC)=(xB+xC-2)/(xB-xC)=[-8/(k^2+2)]/[-4√2k/(k^2+2)]=√2即直線BC的斜率為定值√2（2）對于點A(1,√2),B(xB,yB),C(xC,yC)組成的三角形ABC,其面積S為:S=[(xB-1)(yC-√2)-(xC-1)(yB-√2)]/2而xB-1=-2(√2k+2)/(k^2+2)xC-1=2(√2k-2)/(k^2+2) yB-√2=k(xB-1)yC-√2=-k(xC-1) 代入S，得S=-k(xB-1)(xC-1)=。

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（1）以y=√2x（x≥0）代入橢圓方程，解得x=1，故y=√2，所以A（1，√2），設AC斜率為k（k＞0），因為AB的傾角與AC的傾角互補，所以AB的斜率為-k，故AC方程為：y=k(x-1)+√2,AB方程為：y=-k(x-1)+√2,以AC方程y=k(x-1)+√2代入橢圓方程，整理得：(k^2+2)x^2+(2√2k-2k^2)x+k^2-2√2k-2=0,因為A(1,√2)為AC與橢圓交點，故1為上方程的一個根，另一根為x[C]，故x[C]·1=x[C]=(k^2-2√2k-2)/(k^2+2),故y[C]=k(x[C]-1)+√2=(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2),故C（(k^2-2√2k-2)/(k^2+2),(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2)），同理可求得B（(k^2+2√2k-2)/(k^2+2),(-√2k^2+4k+2√2)/(k^2+2)），直線BC的斜率k[AB]=(y[C]-y[B])/(x[C]-x[B])=[(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2)-(-√2k^2+4k+2√2)/(k^2+2)]/[k^2-2√2k-2)/(k^2+2)-(k^2+2√2k-2)/(k^2+2)]=8k/(4√2k)=√2,所以直線BC的斜率為定值√2。（2）設直線BC與y軸交點為(0,b),又直線BC的斜率為定值√2，故直線BC方程為y=√2x+b,代入橢圓方程得:4x^2+2√2bx+b^2-4=0,令△＞0，得b^2＜8，x[B]+x[C]=-√2b/2,x[B]·x[C]=(b^2-4)/4,(x[B]-x[C])^2=(x[B]+x[C])^2-4x[B]·x[C]=4-b^2/2,y[B]+y[C]=(√2x[B]+b)+(√2x[C]+b)=√2(x[B]+x[C])+2b=b,y[B]·y[C]=(√2x[B]+b)·(√2x[C]+b)=2x[B]·x[C]+√2b(x[B]+x[C])+b^2=b^2/2-4,(y[B]-y[C])^2=(y[B]+y[C])^2-4y[B]·y[C]=4-b^4,故|AB|=√[(x[B]-x[C])^2+(y[B]-y[C])^2]=√(8-3b^2/2),求得原點O到AB的距離h=|b|/√3,因為AO與BC斜率均為√2，所以AO∥BC，故A到AB的距離也為h，三角形ABC的面積S=|AB|h/2=(√6/12)√(-3b^4+16b^2),[把(-3b^4+16b^2)看作b^2的二次函數]，故當b^2=8/3時，Smax=(√6/12)·8/√3=2√2/3。。

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這是高中幾年級的題?