初三的題目中會遇到的有關問題么?

熱心網友

海倫公式的幾種另證及其推廣關于三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：設△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內切圓的半徑，p = (a+b+c),則S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中，S△ABC = 就是著名的海倫公式，在希臘數學家海倫的著作《測地術》中有記載。海倫公式在解題中有十分重要的應用。一、海倫公式的變形S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤二、海倫公式的證明證一 勾股定理分析：先從三角形最基本的計算公式S△ABC = aha入手，運用勾股定理推導出海倫公式。證明：如圖ha⊥BC，根據勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此時S△ABC為變形④，故得證。 證二：斯氏定理 分析：在證一的基礎上運用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點D， 若BD=u，DC=v,AD=t。則 t 2 = 證明：由證一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此時為S△ABC的變形⑤，故得證。 證三：余弦定理 分析：由變形② S = 可知，運用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對其進行證明。 證明：要證明S = 則要證S = = = ab×sinC此時S = ab×sinC為三角形計算公式，故得證。證四：恒等式分析：考慮運用S△ABC =r p，因為有三角形內接圓半徑出現，可考慮應用三角函數的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1證明：如圖，tg = ①tg = ②tg = ③根據恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如圖可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 兩邊同乘以 ，得： r 2 · = 兩邊開方，得： r · = 左邊r · = r·p= S△ABC 右邊為海倫公式變形①，故得證。證五：半角定理半角定理：tg = tg = tg = 證明：根據tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③①×②×③,得： r3 = ×xyz ∵由證一，x = = －c = p－cy = = －a = p－az = = －b = p－b ∴ r3 = ∴ r = ∴S△ABC = r·p = 故得證。三、海倫公式的推廣由于在實際應用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內接與圓的四邊形ABCD中，設p= ,則S四邊形= 現根據猜想進行證明。證明：如圖，延長DA，CB交于點E。 設EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD∴ = = = 解得： e = ① f = ②由于S四邊形ABCD = S△EAB將①，②跟b = 代入公式變形④，得：∴S四邊形ABCD = = = = = = = = = = = 所以，海倫公式的推廣得證。四、海倫公式的推廣的應用海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應用，特別是在有關圓內接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事半功倍。例題：如圖，四邊形ABCD內接于圓O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2。求：四邊形可能為等腰梯形。解：設BC = x 由海倫公式的推廣，得： = (4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當x = 1時，AD = BC = 1∴ 四邊形可能為等腰梯形。。

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三角形的三條邊的邊長a、b、c，面積為S使：l=（a+b+c）/2則, 海倫公式: S = 根號下[l(l-a)(l-b)(l-c)]知道三角形三邊長, 可以求出三角形的面積.該公式現在已經不用了

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三角形的三條邊的邊長a、b、c，面積為S使：s=（a+b+c）/2則, 海倫公式: S = genhao[s(s-a)(s-b)(s-c)]它在只知道三角形邊長情況下, 可以求出三角形的面積.