已知橢圓焦點為F1,F2,橢圓上有一點P,角F1PF2= 60 度,求離心率的范圍

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設P點坐標為(x,y),則|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,則三角形F1PF2中cos60=1/2=(|PF1|^2+|PF2|^2-4c^2)/(2|PF1|*|PF2|),由此解得:x^2=(4c^2-a^2)/3e^2,因為x屬于(-a,a),x^2屬于[0,a^2)(4c^2-a^2)/3e^2屬于[0,a^2),由此解得e大于等于1/2,又因為e屬于(0,1)所以e的范圍是[1/2,1)

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解：根據橢圓的定義：定長=2a,焦距F1F2=2c,在三角形F1PF2中設PF1=a+x,PF2=a-x,x屬于[0,a),（p點不可能在F1F2所在直線上，所以x不能為a),利用余玄定理，(2c)^2=(a+x)^2+(a-x)^2-2(a+x)(a-x)cos60,所以 x^2=(4c^2-a^2)/3, 0<=x^2

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已知橢圓焦點為F1,F2,橢圓上有一點P,角F1PF2= 60 度,求離心率的范圍設橢圓為：(x/a)^2 +(y/b)^2=1設P為(m,n),則PF1=a+em ,PF2=a-em因為(2c)^2 = (a+em)^2+(a-em)^2-2(a+em)(a-em)*cos60° (余弦定理）所以4c^2 = 2a^2 + 2(em)^2 -a^2+(em)^2即4c^2 ＝a^2 +3(em)^2 因為m^2＜a^2所以4c^2＜a^2 +3e^2*a^2 ,即4e^2≤1+3e^2解得：e^2＜1　，0＜e＜1 （橢圓的離心率沒其它限制）