求正四面體相鄰兩側面所成的二面角的大小及正四面體的高和棱長的比。

熱心網友

設:正四面體底面三角形為ABC,重心為O,頂點為P,高為PO,AB的中點為D,棱長為2L,二面角為KPD=CD=√3L,cosK=(PD^2+CD^2-PC^2)/(2PD*CD)=(3+3-4)/6=1/3,K=arccos(1/3)PO^2=PC^2-CO^2=4-4/3=8/3高和棱長的比 PO/PC=(2√6/3)/2=√6/3

熱心網友

求正四面體相鄰兩側面所成的二面角的大小及正四面體的高和棱長的比。正四面體底面三角形為ABC,重心為O,頂點為D,高為h=DO,AB的中點為E,棱長為a,二面角為α。DE=a√(1-1/4)=a*√(3)/2,DE=CE=3EO, EO=a/(2√3), ∴cosα=EO/DE=1/3。二面角α=arccos(1/3).h^2=(DE)^2-(EO)^2=a^2(3/4-1/12)=a^2*2/3∴高和棱長的比:h/a=√(2/3)