已知f(x)是三次函數，且f(x+1)+f(x-1)=2x^2+x-1求f(x)

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若f(x)為三次函數，題目應該為:已知f(x)是三次函數，且f(x+1)+f(x-1)=2x^3+x-1, 求f(x).可設f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ,那么依題意，顯然有a=1,b=0,所以實際上，f(x)=x^3+cx+d, 于是，從f(x+1)+f(x-1)=2x^3+x-1,可得2x^3+(2c+6)x+2d=2x^3+x-1,所以有：c=-5/2,d=-1/2,則f(x)=x^3-(5/2)x-1/2.

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已知f(x)是三次函數，且f(x+1)+f(x-1)=2x^2+x-1 ,求f(x) f(x)不可能是三次函數，是二次函數吧：設f(x)=ax^2+bx+c,因為f(x+1)+f(x-1)=2x^2+x-1所以a(x+1)^2+a(x-1)^2+b(x+1)+b(x-1)+2c = 2x^2+x-1即 2ax^2 +2bx +2a +2c =2x^2+x-1比較得：a=1 ,b=1/2 ,c=-3/2所以 f(x)= x^2 + x/2 - 3/2

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設f(x) = ax^3+bx^2+cx+df(x+1)+f(x-1) = a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d+a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d = a(2x^3+6x)+b(2x^2+2)+c(2x)+2d = 2ax^3+2bx^2+(6a+2c)x+2b+2d比較系數的：2a =0, 2b =2, 6a+2c =1, 2b+2d =-1 解得：a =0, b =1, c =1/2, d =-3/2f(x)=x^2+(1/2)x-3/2f(x)應當不能是三次函數