設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在閉區(qū)間[0，7]上只有f(1)=f(3)=0(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2005，2005]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論

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解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸為x=2和x=7,從而知函數(shù)y=f(x)不是奇函數(shù),由方程f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)==f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)== f(4-x)= f(14-x)==f(x)=f(x+10),從而知函數(shù)y=f(x)的周期為T=10又f(3)=f(0)=0而f(7)≠0,故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù);(2):由方程f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)==f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)== f(4-x)= f(14-x)==f(x)=f(x+10),(2): 又f(3)=f(0)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù) 在[0,2005]上有402個(gè)解,在[-2005。0]上有400個(gè)解,所以函數(shù) 在[-2005,2005]上有802個(gè)解。。

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同意樓上觀點(diǎn).