已知正四棱錐側棱和底面所成的角等于α，相鄰兩個側面所成的角等于β,求證：cosβ=(cos^2 α)/(cos^2 α-2).

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設正四棱錐的底面邊長是m，側棱長是n，高是h。在正四棱錐P-ABCD錐中，作AE垂直于PB,E是垂足。連接CE。由△APB全等于△BPC，知道AEC=b是二面角的平面角。在直角△POB中(O是底面的中心)，OE=h(m/2^。5)/ na=h/n在等腰△AEC中，tan(b/2)=OA/OE=(m/2^。5)/[h(m/2^。5)/n]=n/hcosb=cos(2*a/2)={1-[tan(a/2)]^2}/{1+[tan(a/2)]^2}【用角的正切求二倍角的三角函數的“萬能公式”：cos(2a)=[1-tana)^2]/[1+(tana)^2],……】=[1-(n/h)^2]/[1+(n/h)^2]=[(h/n)^2-1]/[(h/n)^2+1]=[(sina)^2-1]/[(sina)^2+1]=-(cosa)^2/[2-(cosa)^2]=(cosa)^2/[(cosa)^2-2]。