三角形ＡＢＣ是圓Ｏ內(nèi)接正三角形，Ｄ是弧ＡＣ上任意一點，過Ｃ作ＣＥ／／ＤＡ，交圓Ｏ于點Ｅ，ＢＥ，ＤＡ的延長線相交于點Ｆ，連接ＢＤ，交ＡＣ于點Ｇ．求證：１：三角形ＢＤＦ是正三角形．２：ＢＣ的平方＝ＢＧ乘ＢＦ

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因為A、E、B、C 四點共圓，所以∠BEC=∠BAC=60°由于EC∥FD, 所以∠F=∠BEC=60°同理，∠D=∠BCA=60°所以△FBD是正三角形因為∠FBD=∠ABC=60°,所以∠FBA=∠GBC由于∠F=∠BCG=60°,所以△FBA∽△CBG, BF:BC=BA:BG,即 BC·BA=BG·BF因為BA=BC所以BC的平方=BG·BF

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畫圖

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假設BD交CE于點H,因為CE//DF,所以:角BDA=角BHE而角BHE=角HBC+角HCB(外角),而角ACE=角DBC(圓周角)相等所以角ADB=角EHB=角HBC+角HCB=角ACE+角HCB=60度因為:角ABE=角DBC 所以:角FBD=角ABE+角ABD=角ABD+角DBC=60度在一個三角形中,二個角都等于60度,所以這個三角形,即三角形FBD為等邊三角形.2)主要是要我們求證:BC:BH=BF:BC由前一題得知:角DBC=角ABE而角BFD=角BEC而角BEC=角BAC=角ACB所以三角形 BGC與三角形BAF相似,所以上面的比例關系成立所以得到證明