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《數(shù)學(xué)建模》練習(xí)試題1、假設(shè)島上不斷有大陸來(lái)的移民。再假設(shè) 時(shí)刻大陸上有 種人，島上有 種人。移居到島上并在那邊開(kāi)拓殖民地的新人種的增加速度與大陸上尚未移居到島上的人種數(shù) 成比例，比例常數(shù)為 。此外，人種的滅絕速度與島上的人種數(shù)成比例，比例常數(shù)為 。證明島上的人種數(shù)將達(dá)到一個(gè)平衡值，它近似為 。畫(huà)出其與 的函數(shù)曲線。√2、與Logistic模型不同的另一種描述種群增長(zhǎng)規(guī)律的是Gompertz模型： ， 其中 和 的意義與Logistic模型相同。設(shè)漁場(chǎng)魚(yú)量的自然增長(zhǎng)服從這個(gè)模型，且單位時(shí)間捕撈量為 。討論漁場(chǎng)魚(yú)量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量 及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度 和漁場(chǎng)魚(yú)量水平 。（p201ex2）√3、外出旅游選擇交通工具（包括飛機(jī)、火車(chē)、汽車(chē)），由于不同人外出的目的不同，經(jīng)濟(jì)條件不同，體質(zhì)、心理、經(jīng)歷、興趣都不同，考慮到安全、舒適、快速、經(jīng)濟(jì)、游覽等因素，問(wèn)應(yīng)如何選擇交通工具。√4、鼓勵(lì)兒童們學(xué)習(xí)的一種方法是：當(dāng)他們回答問(wèn)題正確時(shí)給予獎(jiǎng)勵(lì)，而當(dāng)他們回答不正確時(shí)不予獎(jiǎng)勵(lì)（或者有時(shí)給予懲罰）。教育工作者感興趣的問(wèn)題是設(shè)計(jì)一種能提高學(xué)習(xí)效率的方案。試建立一個(gè)在兒童中進(jìn)行試驗(yàn)之前就能評(píng)估不同方案的數(shù)學(xué)模型。5、一條流水線有五個(gè)崗位，分別完成某產(chǎn)品裝配的五道工序。現(xiàn)分配甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工人去操作。由于每人專(zhuān)長(zhǎng)不同，各個(gè)工人在不同崗位上生產(chǎn)效率不一樣，具體數(shù)字見(jiàn)表2。問(wèn)應(yīng)如何分配每個(gè)工人的操作崗位，使這條流水線的生產(chǎn)能力最大？表 2崗位工人 ⅠⅡⅢⅣⅤ甲乙丙丁戊23253345274233615422761546、一商店擬出集甲商品，已知每單位甲商品成本為50元，售價(jià)70元，如果售不出去，每單位商品將損失10元。已知甲商品銷(xiāo)售量 服從以參數(shù) （即平均銷(xiāo)量為6單位）的泊松分布 問(wèn)該商店訂購(gòu)量應(yīng)為多少單位，才能使平均收益最大？√7、某商店預(yù)期商品年銷(xiāo)售量為350件，且在全年（按300天計(jì)）內(nèi)基本均衡。若該商店每組織一次進(jìn)貨需訂購(gòu)費(fèi)50元，存貯費(fèi)每年每件13。75元，當(dāng)供應(yīng)短缺時(shí)，每短缺一件的機(jī)會(huì)損失為25元。已知訂貨提前期為零，求經(jīng)濟(jì)訂貨批量和最大允許的短缺數(shù)量。8、學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍，學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。（2）2。1節(jié)中的Q值方法。（3）d’Hondt方法：將A，B，C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù) 相除，其商數(shù)如下表8：表 81 2 3 4 5 …ABC235 117。5 78。3 58。75 …333 166。5 111 83。25 …432 216 144 108 86。4將所得商數(shù)從大到小取前10個(gè)（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A，B，C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個(gè)宿舍分配的席位。你能解釋這種方法的道理嗎。如果委員會(huì)從10人增到15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較。（4）你能提出其它的方法嗎。用你的方法分配上面的名額。(p55ex1) √9、在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎，比如潔銀牙膏50g裝的每支1。50元，120g裝的每支3。00元，二者單位重量的價(jià)格比是1。2：1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個(gè)現(xiàn)象。（1）分析商品價(jià)格 與商品重量 的關(guān)系，價(jià)格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其它成本等決定，這些成本中有的與重量 成正比，有的與表面積成正比，還有與 無(wú)關(guān)的因素。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格 與 的關(guān)系，畫(huà)出它的簡(jiǎn)圖，說(shuō)明 越大 越小，但是隨著 的增加 減小的程度變小，解釋實(shí)際意義是什么。√10、建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷(xiāo)售存貯模型，設(shè)生產(chǎn)速度為常數(shù) ，銷(xiāo)售速率為常數(shù) ， 。在每個(gè)生產(chǎn)周期 內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間（ ）一邊生產(chǎn)一邊銷(xiāo)售，后來(lái)的一段時(shí)間（ ）只銷(xiāo)售不生產(chǎn)，畫(huà)出貯存量 的 圖形，設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 ，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 ，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論 和 的情況。√11、某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購(gòu)進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如下表9所示，按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅，此外還有以下限制：1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬(wàn)元；2）所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)1。4（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程序越高）；3）所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)5年。表 9證券名稱(chēng)證券種類(lèi)信用等級(jí)到期年限到期稅前收益（%）A市政294。3B代辦機(jī)構(gòu)2155。4C政府145。0D政府134。4E市政524。5（1）若該經(jīng)理有1000萬(wàn)元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2。75%的利率借到不超過(guò)100萬(wàn)元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬(wàn)元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4。5%，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4。8%，投資應(yīng)否改變？12、在甲乙雙方的一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)中，一部分甲方部隊(duì)被乙方部隊(duì)包圍長(zhǎng)達(dá)4個(gè)月，由于乙方封鎖了所有水陸交通通道，被包圍的甲方部隊(duì)只能依靠空中交通維持供給，運(yùn)送4個(gè)月的供給分別需要2次，3次，3次，4次飛行，每次飛行編隊(duì)由50架飛機(jī)組成（每架飛機(jī)需要3名飛行員），可以運(yùn)送10萬(wàn)噸物資，每架飛機(jī)每個(gè)月只能飛行一次，每名飛行員每個(gè)月也只能飛行一次，在執(zhí)行完運(yùn)輸任務(wù)后的返回途中有20%的飛機(jī)會(huì)被乙方部隊(duì)擊落，相應(yīng)的飛行員也因此犧牲或失蹤，在第1個(gè)月開(kāi)始時(shí)，甲方擁有110架飛機(jī)和330名熟練的飛行員，在每個(gè)月開(kāi)始時(shí)，甲方可以招聘新飛行員必須在熟練飛行員的指導(dǎo)下經(jīng)過(guò)一個(gè)月的訓(xùn)練才能投入飛行，每名熟練飛行員可以作為教練每個(gè)月指導(dǎo)20名飛行員（包括他自己在內(nèi)）進(jìn)行訓(xùn)練，每名飛行員在完成一個(gè)月的飛行任務(wù)后，必須有一個(gè)月的帶薪假期，假期結(jié)束后才能再投入飛行。已知各項(xiàng)費(fèi)用（單位略去）如下表11所示，請(qǐng)你為甲方安排一個(gè)飛行計(jì)劃。如果每名熟練飛行員可以作為教練每個(gè)月指導(dǎo)不超過(guò)20名飛行員（包括他自己在內(nèi)）進(jìn)行訓(xùn)練，模型和結(jié)果有哪些改變？表 11第1個(gè)月第2個(gè)月第3個(gè)月第4個(gè)月新飛機(jī)價(jià)格200。0195。0190。0185。0閑置的熟練飛行員報(bào)酬7。0 教練和新飛行員報(bào)酬(包括培訓(xùn)費(fèi)用)10。0 執(zhí)行飛行任務(wù)的熟練飛行員報(bào)酬9。0 休假期間的熟練飛行員報(bào)酬5。0 13、排名次的另一方法是考察“失分向量”以代替得分向量（選手輸?shù)魣?chǎng)次的數(shù)目為他的失分），按失分由小到大排列名次。（1）證明：這相當(dāng)于把競(jìng)賽圖中各有向邊反向后，按得分向量排列名次，再把名次倒過(guò)來(lái)。（2）用失分向量方法對(duì)8。2節(jié)圖13（4）的競(jìng)賽圖排列名次，結(jié)果與用得分向量方法一致嗎？14、某甲（農(nóng)民）有一塊土地，若從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)可收入1萬(wàn)元，若將土地租給某乙（企業(yè)家）用于工業(yè)生產(chǎn)，可收入3萬(wàn)元。當(dāng)旅店老板請(qǐng)企業(yè)家參與經(jīng)營(yíng)時(shí)，收入達(dá)4萬(wàn)元。為促成最高收入的實(shí)現(xiàn)，試用Shapley值方法分配各人的所得。√15、理事會(huì)有五個(gè)常任理事和十個(gè)非常任理事，提案僅當(dāng)全部常任理事和至少四個(gè)非常任理事贊成時(shí)的方向通過(guò)。求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的權(quán)重。16、設(shè) 和 分別是選民和候選人集合， 是I對(duì)A的一次投票（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不考慮兩候選人等同的情況）。選舉結(jié)果P不是對(duì)A的一個(gè)排序，而只是決定一名優(yōu)勝者（第一名）。現(xiàn)舉出以下幾種選舉規(guī)則：（1） 中排在第一名最多的那位候選人為優(yōu)勝者。（2）若多于或等于半數(shù)的選民將x排在其它候選人之前，x是優(yōu)勝者。（3）若多于或等于半數(shù)的選民將x排在第一位，則x是優(yōu)勝者；若沒(méi)有這樣的x，就把排在第一位最多的兩個(gè)候選人x，y進(jìn)行比較，當(dāng)多于或等于半數(shù)的選民將x排在y前面時(shí)，x是優(yōu)勝者。（4）得分（Borda數(shù)）居第一位的為優(yōu)勝者。問(wèn)這些規(guī)則都能確定優(yōu)勝者嗎？對(duì)于同一次投票這些規(guī)則決定的優(yōu)勝者相同嗎？你還能提出一些決定優(yōu)勝者的選舉規(guī)則嗎？17、某商店要訂購(gòu)一批商品零售，設(shè)購(gòu)進(jìn)價(jià) ，售出價(jià) ，訂購(gòu)費(fèi) （與數(shù)量無(wú)關(guān)），隨機(jī)需求量r的概率密度為 ，每件商品的貯存費(fèi)為 （與時(shí)間無(wú)關(guān)）。問(wèn)如何確定訂購(gòu)量才能使商店的平均利潤(rùn)最大，這個(gè)平均利潤(rùn)是多少。為使這個(gè)平均利潤(rùn)為正值，需要對(duì)訂購(gòu)費(fèi) 加什么限制？18、下表列出了某城市18位35歲～44歲經(jīng)理的年平均收入 （千元），風(fēng)險(xiǎn)偏好度 和人壽保險(xiǎn)額y（千元）的數(shù)據(jù)，其中風(fēng)險(xiǎn)偏好度是根據(jù)發(fā)給每個(gè)經(jīng)理的問(wèn)卷調(diào)查表綜合評(píng)估得到的，它的數(shù)值越大，就越偏愛(ài)高風(fēng)險(xiǎn)。研究人員想研究此年齡段中的經(jīng)理所投保的人壽保險(xiǎn)額與年均收入及風(fēng)險(xiǎn)偏好度之間的關(guān)系。研究者預(yù)計(jì)，經(jīng)理的年均收入和人壽保險(xiǎn)額之間存在著二次關(guān)系，并有把握地認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額有線性效應(yīng)，但對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額是否有二次效應(yīng)以及兩個(gè)自變量是否對(duì)人壽保險(xiǎn)額有交互效應(yīng)，心中沒(méi)底。請(qǐng)你通過(guò)表14中的數(shù)據(jù)來(lái)建立一個(gè)合適的回歸模型，驗(yàn)證上面的看法，并給出進(jìn)一步的分析。√表 14序號(hào) 序號(hào) 123456789196 66。290 7 63 40。964 5252 72。996 10 84 45。010 6126 57。204 4 14 26。852 5 49 38。122 4 49 35。840 6266 75。796 9101112131415161718 49 37。408 5105 54。376 2 98 46。186 7 77 46。130 4 14 30。366 3 56 39。060 5245 79。380 1133 52。766 8133 55。916 619、兩種不同的外部表征是由兩種不同基因決定的，這兩種基因的遺傳關(guān)系是相互獨(dú)立的。例如豬的毛有顏色表征（黑和白）與質(zhì)地表征（粗和光）。對(duì)于每一種表征仍分為優(yōu)種 ，混種 和劣種 3種基因類(lèi)型，兩種表征的組合則有9種基因類(lèi)型。在完全優(yōu)勢(shì)遺傳中，優(yōu)種和混種的豬毛顏色黑、質(zhì)地粗，劣種則顏色白、質(zhì)地光，這樣共有4種外部表征組合，即黑粗、黑光、白粗、白光。假設(shè)群體的兩種外部表征對(duì)應(yīng)的基因中d和r的比例相同（即均為1/2），在隨機(jī)交配情況下構(gòu)造馬氏鏈模型。證明在穩(wěn)定情況下上述4種外部表征組合的比例為9:3:3:1。20、一家集生產(chǎn)、銷(xiāo)售于一體的公司，希望生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上，如果銷(xiāo)售量可以預(yù)測(cè)，公司需要制訂一個(gè)根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的策略。（1）以在一定時(shí)間T內(nèi)生產(chǎn)率和貯存量與設(shè)定值誤差的（加權(quán)）平方和最小為目標(biāo)，給出泛函極值問(wèn)題。（2）設(shè)銷(xiāo)售量為常數(shù)，求出最優(yōu)解，并在T很大的情況下給出生產(chǎn)率和貯存量之間的關(guān)系。。

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老師常說(shuō)看題后要"原文照譯"(把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言),再畫(huà)圖(函數(shù)或幾何圖形),最后圖文結(jié)合解題.很有用的.

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找一本較好的數(shù)學(xué)模型的教材看看，收集近年來(lái)數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽的題目依樣畫(huà)葫蘆做一、二個(gè)。大學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，并不缺少數(shù)學(xué)知識(shí)，但是如果從來(lái)沒(méi)有接觸過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的工作，即使平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)相當(dāng)好，到時(shí)候也一定會(huì)束手無(wú)策的，所以參加競(jìng)賽之前必須進(jìn)行一些訓(xùn)練。目前各高校正準(zhǔn)備組織建立數(shù)學(xué)模型的訓(xùn)練，然后組隊(duì)參加今年的競(jìng)賽。競(jìng)賽大概是這樣進(jìn)行的：每3人組成一個(gè)隊(duì)，在72小時(shí)內(nèi)完成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后由專(zhuān)家組評(píng)判決定名次。