已知長度等于3的線段AB的兩個端點在拋物線y^2=x上運動，求AB的中點M到y軸的距離最小值。

熱心網友

A、B點在拋物線y^2=x上，因此，可設A、B點坐標為：A(a^2,a)，B(b^2,b)|AB| = 根號[(a-b)^2 +(a^2-b^2)^2] ...(1)令：M = (a^2+b^2)/2，Z = ab,(M = 0)由(1)得：4*Z^2+2*Z+(9-4*M^2-2M)=0Z有解，則：2^2 -4*4*(9-4*M^2-2M) = 0== (4M+7)(4M-5) = 0 === M = 5/4AB的中點M到y軸的距離 = (a^2+b^2)/2，因此，距離最小值 = 5/4

熱心網友

解1：設A(a^2,a),B(b^2,b) 由M點坐標為方程x=(a^2+b^2)/2 (1)y=(a+b) (2)==(a+b^2)=4y^2 (3)(a-b^2)=4x-4y^2 (4)代入距離公式可知：3^2=(a^2-b^2)^2+(a-b)^2=(a-b)^2[(a+b)^2+1] =(4x-4y^2)*(4y^2+1) ==x=y^2+9/4(1+4y^2)=1/4[(1+4y^2)+9/(+4y^2)]-1/4≥2/4√{(1+4y^2)[9/(1+4y^2)]-1/4=3/2-1/4=5/4